Er lausn á stærsta deilumáli stærðfræðinga á tuttugustu og fyrstu öldinni í sjónmáli?
Höfundur: Eyþór Gylfason

eythor-gylfason

A, B, C easy as 1,2,3 söng Michael Jackson og var væntanlega ekki að tala um stærðfræðitilgátuna sem síðastliðin fjögur ár hefur hrist upp í stærðfræðisamfélaginu. Stærðfræðingurinn Shinichi Mochizuki er sagður hafa sannað þessa tilgátu, en aðferðir hans hafa ennþá ekki verið viðurkenndar af nema örfáum stærðfræðingum. Á núna rúma ári er ljós farið að sjást við enda þessara ganga, því fyrir ári gátu þessir örfáu stærðfræðingar sem sögðust skilja byltingarkenndar aðferðir Mochizukis ekki geta útskýrt hvernig þeir skildu þær.

Motchizuki er mjög virtur í stærðfræðisamfélaginu og þegar hann birti illskiljanlegar niðurstöður á vefsvæði sínu 30. ágúst 2012 var það skylda stærðfræðisamfélagsins að gera heiðarlega tilraun til þess að skilja hvernig hann hafði komist að þessari niðurstöðu. Auk þess sem sönnun á þessari tilgátu gæti haft afdrifamiklar afleiðingar fyrir stærðfræði framtíðarinnar.

ABC
abc-tilgáta lýsir sambandinu milli þriggja talna, með jöfnunni: a+b=c, þar sem a, b og c eru jákvæðar heiltölur. Ef þessar þrjár tölur hafa enga sameiginlega frumþætti aðra en 1, þá þegar margfeldi aðgreindra frumþátta þeirra er sett í veldi hærra en 1 (til dæmis, veldið 1,001) verður niðurstaðan ávallt hærri en c með endanlega mörgum undantekningum. Fjöldi undantekninga ræðst af þrenndinni a, b, c. Brot á þessum skilyrðum veltur á völdum veldisvísi (3).

Frekari einföldun á þessari tilgátu er að sérhverja heiltölu er hægt að skrifa út sem margfeldi frumþátta, það er margfeldi talna sem eingöngu 1 og talan sjálf ganga upp í. Þá er sambandið a+b=c og abc>c. Í einföldustu mynd tilgátunnar.

Enginn hafði komist nálægt því að finna grundvöll fyrir sönnun á tilgátunni síðan hún var sett fram árið 1985 þangað til Mochizuki birti niðurstöðurnar sínar.

Hin nýja stærðfræði
Til þess að fá niðurstöðu í tilgátuna þurfti Mochizuki að finna upp nýja stærðfræði svo hægt væri að lýsa hegðun talnanna. Þessa stærðfræði birti hann samhliða sönnuninni og er hún órjúfanlegur þáttur niðurstöðunnar og kallar hann hana Inter-universal Teichmüller theory.[*] Niðurstöðurnar og nýja stærðfræðin sem hann notar ná yfir fimmhundruð síður í fjórum bindum og hefur mörgum af færustu sérfræðingum innan talnafræðarinnar ekki tekist að átta sig á innihaldinu. Þar eru til að mynda aðgerðirnar margföldun og deiling skilgreindar á nýjan hátt. Þar sem okkar skilningur á þeim er aðeins sértilfelli af æðri reikniaðgerð. Líkt og hringur sem er sértilfelli af sporbaug. Talnafræðingurinn Jordan Ellenberg við Wisconsin-Madison háskóla, lýsti tilfinningunni við að lesa sönnunina eins og að skoða ritgerð úr framtíðinni eða utan úr geim (2).

Mochizuki er virtur stærðfræðingur og reis frægðarsól hans þegar hann birti sönnun á Anabelian rúmfræði sem ekki verður farið nánar út í hér. Hann hefur starfað og sinnt starfi við stærðfræðirannsóknadeild Kyoto háskóla í Japan lengst af sínum ferli og birt sannanir á ýmsum vandamálum stærðfræðinnar. Þannig hefur stærðfræðisamfélaginu fundist vera skylda sín að leggja ákveðinn metnað í að skilja sönnunina. En Mochizuki hefur ekki verið liðtækastur við að hjálpa kollegum sínum að komast að niðurstöðu í blaðsíðunum sínum. Hann forðast viðtöl og neitar að ferðast á ráðstefnur til þess að skýra út sönnunina sína. Þess vegna voru miklar vonir bundnar við ráðstefnu sem haldin var í Oxford háskóla 7. desember síðastliðinn, þar sem Mochizuki hafði boðist til þess að svara spurningum ráðstefnugesta á Skype. Þarna tóku til máls samstarfsmenn Mochizukis og fleiri stærðfræðingar sem þóttust hafa grun um hvernig hægt væri að komast að niðurstöðu í þessu umdeildasta máli stærðfræðinnar á þessari öld.

„Fólk er orðið óþolinmótt, þar meðtalinn ég, þar meðtalinn [Mochizuki] og það er eins og ákveðið fólk innan stærðfræðisamfélagsins beri ábyrgð á því að gera eitthvað í málunum,“ sagði Minhyong Kim, einn forsprakka ráðstefnunnar í Oxford og stærðfræðingur við háskólann (3).

Fyrstu tvo daga ráðstefnunnar voru gestirnir vongóðir um að komast inn í hugarheim Mochizukis. Þar voru ráðstefnugestum gefnar vísbendingar um hverskonar nálgun Mochizuki notaðist við til þess að komast að niðurstöðum sínum.

abc-tilgátan er skild Szpiro-tilgátunni sem sett var fram af stærðfræðingnum Lucien Szpiro á níunda áratugnum. Þar sem abc-tilgátan lýsir undirliggjandi sambandi milli heilla talna, þá lýsir Szpiro-tilgátan undirliggjandi sambandi milli sporbaugslaga ferla. Þar sem mengi allra lausna birtast sem ákveðin tegund af algebrískri jöfnu.

Tengsl milli sporbaugsferla og heiltalna er þekkt í abstrakt heimi og gerir alla framsetningu mun flóknari en aftur á móti gefur hún stærðfræðinni fleiri tól til þess að komast að niðurstöðu reiknisdæma. Andrew Wiles notaði sambærilega aðferð þegar hann sannaði Síðustu setningu Fermats árið 1992. Í stað þess að notast við einfalda en mjög takmarkaða útfærslu jöfnunnar: an +bn = cn fyrir allar heiltölur n stærri en 2. Varpaði Wiles jöfnunni fyrst yfir í rúm sporbaugsferla og síðan í Galois útfærslu af sporbaugsferlum. Til þess að nálgast vandamálið þar í stað þess að gera það í heiltölurúmi.

Mochizuki notaði svipaða aðferð til þess að nálgast abc-tilgátuna, þ.e. í stað þess að leggja upp með að sanna tilgátuna beint. Lagði hann upp með að sanna Szpiro-tilgátuna og það gerði hann með því að tákna allar viðeigandi upplýsingar úr Szpiro-tilgátunni með nýrri tegund af stærðfræði sem hann fann upp og kallaði Frobenioid.

Horft gegnum skráargat
Til þess að átta sig að einhverju leyti á hvað Frobeniod er, skulum við hugsa okkur ferning. Hann er merktur á hornpunktunum með stöfunum (A,B,C,D), þar sem A er í hægra horninu niðri og B í hægra horninu uppi. Hægt er að haga ferningnum eftir ákveðnum leiðum án þess þó að breyta eðlislægri staðsetningu. Eins og til dæmis að snúa honum um 90° rangsælis, þannig að uppröðun hornpunktanna breytist og yrði nú ef við byrjum aftur í hægra horninu niðri: (D,A,B,C). Einnig er hægt að snúa ferningnum um 180, 270 og 360 gráður, eða snúa honum um hornalínur sínar.

Hver þessara aðgerða geymir ennþá eðlislega staðsetningu ferningsins, þ.e. hann er ennþá á sama stað og hann var upphaflega. Allir slíkir ferningar hafa átta samhverfur og til þess að geyma upplýsingar um hverja samhverfu gæti stærðfræðingur sett upp algebríska byggingu sem innihéldi allar upplýsingar um hvar hornpunktarnir geta verið. Svona bygging er kölluðu grúpa. Það er engin leið að snúa ferningnum þannig að ferningurinn (A,C,B,D) fáist, því B verður alltaf að koma á eftir A. En þegar grúpurnar losna undan skilyrðum ferningsins, þ.e. samhverfa eða snúninga hans, er ekkert sem kemur í veg fyrir að hornpunktunum sé raðað upp eftir hentugleika – eða á tuttugu og fjóra mismunandi vegu.

Þannig inniheldur algebru framsetningin þrisvar sinnum meiri upplýsingar heldur en rúmfræðilega framsetningin. Og fyrir flóknari rúmfræðileg form heldur en ferninga verður óaðgengilegt að nálgast upplýsingar með því að nota táknkerfi rúmfræðinnar.

Frobenioids virka á svipaðan hátt og grúpum var lýst hér að ofan. Í stað fernings eru algebrísku byggingarnar búnar til úr sporöskjulaga ferlum. Þannig útskýrði Mochizuki flest gögnin úr Szpiro-tilgátunni með Frobenioids. Mochizuki fór frá abc-tilgátunni yfir í Szpiro og þaðan í Frobenioids þar sem hann miðaði að því að finna lausn með tækjum sem var ríkari af tólum heldur en heiltölurúmið. Líkt og Wiles færði sig frá Síðustu setningu Fermats yfir í sporöskjulaga ferla og þaðan yfir í Galois-framsetninguna.

Þetta var því miður það eina sem einhver niðurstaða komst í, á ráðsetnunni í Oxford háskóla. Stærðfræðingarnir voru spenntir eftir fyrstu tvo dagana og sáu rifu inn í vinnuaðferðir Mochizukis. En þegar samstarfsmenn hans fóru að tala um sönnunina sjálfa týndust þeir allir í frumskógi skilgreininga og reglna og endaði með því að enginn skildi neitt. Stærðfræðingarnir sátu og störðu á eitthvað sem ekki tilheyrði þeirra eigin heimi og að lokum gáfust þeir upp (3).

Hins vegar töldu forsvarsmenn ráðstefnuna þetta vera fyrsta skrefið í átt að skilningi á stærðfærðinni sem Mochizuki var búinn að setja fram.

Önnur ráðstefna var haldin í Kyoto í júlímánuði 2016 og tala stærðfræðingar nú um að allt sé á leið í rétta átt, talið er, að minnsta kosti tíu manns skilji sönnunina núna og nú gæti svo orðið að sönnunin birtist í vísindatímariti á næsta ári sem yrði fimm árum eftir sönnunin birtist fyrst á vefsvæði Mochizukis.

Stærðfræðingurinn Jeffery Lagarias við Michigan háskóla telur að allt sé að þokast í rétta átt með því að sífellt fleiri utan Japans leggi í að skilja niðurstöður Mochizukis. Lagarias telur einnig að það muni taka áratugi fyrir stærðfræðisamfélagið að njóta góðs af öllum þeim umfangsmiklu niðurstöðum sem Mochizuki á að hafa komist að (1).

Við sjáum til hvað gerist.

[*] Greinahöfundur tekur meðvitað ákvörðun um að þýða ekki þessa grein stærðfræðinnar og telur það frekar verkefni íslenska stærðfræðisamfélgsins.

Heimildir

1) Aron, Jacob, Mathematicians finally starting to understand epic ABC proof, 7.október 2015, Natur. (sótt 16. október 2016)

2) Castelvecchi, Davide, The biggest mystery in mathematics: Shinichi Mochizuki and the impenetrable proof, 21. desember 2015, Quanta Magazine. (sótt 13. október 2016)

3) Hartnett, Kevin, Hope Rekindled for Perplexing Proof, 2. ágúst 2016, New Scientist. (sótt 16. október 2016)

DeilaShare on FacebookTweet about this on TwitterShare on Google+Share on TumblrShare on LinkedInPin on PinterestEmail this to someone